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MADEA : Calcul analytique des systèmes à aimants permanents en 3 dimensions - Grenoble INP - G2Elab

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MADEA : Calcul analytique des systèmes à aimants permanents en 3 dimensions

Le problème du calcul d'un système magnétique est assez complexe. L'état magnétique résulte d'un équilibre pour minimiser l'énergie. Il est souvent résolu par des méthodes numériques, comme la méthode des éléments finis. Dans certains cas, comme celui des aimants permanents, les sources de champ et la polarisation des aimants sont connues. Il devient alors possible de calculer le champ magnétique en tout point ainsi que les interactions quand le système est linéaire. Devant l'intérêt de cette méthode, nous avons développé le calcul analytique de l'énergie d'interaction, des forces, et des couples en trois dimensions.

Nous avons publié les premiers calculs analytiques 3D en 1984. Il s'agissait à l'époque de calculer l'énergie et les forces d'interaction entre deux parallélépipèdes aimantés, à côtés parallèles et aimantations parallèles. C'était une première mondiale ; le calcul était réputé infaisable sans intégration numérique. Nous avons obtenu les expressions analytiques exactes de l'énergie d'interaction et des 3 composantes des forces, sous forme de fonctions utilisant des logarithmes et arc-tangentes.

Avec le développement des aimants modernes, qui permette la construction de systèmes où les directions d'aimantations sont multiples (cylindres de Halbach par exemple), les besoins ne se limitent plus au cas à aimantations parallèles. Ils sont de plus en plus importants pour des directions d'aimantations quelconques, et pour calculer toutes les interactions c'est-à-dire les 3 composantes des couples en plus des 3 composantes des forces. C'est pourquoi nous avons relancé ces travaux sur ces calculs analytiques 3D. La principale différence par rapport aux premières études, c'est l'aide importante apportée par certains logiciels pour résoudre certaines intégrales analytiques.

Le premier résultat récent a été la résolution du cas où les aimantations sont perpendiculaires. Par combinaison des expressions (aimantations parallèles et perpendiculaires), les interactions entre deux aimants de direction d'aimantation quelconque peuvent être calculé analytiquement.

Le deuxième résultat a été la résolution du cas où les aimants sont inclinés l'un par rapport à l'autre. Quelques éléments de ces calculs étaient déjà connus ; notre apport original a été d'aller jusqu'au calcul de l'énergie d'interaction. Par dérivation de cette énergie on peut calculer les expressions analytiques des forces, des raideurs, etc.

Le troisième résultat important a été la résolution du calcul du couple. La dérivation angulaire de l'énergie est difficile à faire. Ce nouveau résultat est très important car l'obtention des expressions analytiques du couple permet d'écrire l'ensemble des 6 composantes qui s'exercent sur un aimant, les 3 composantes de la force et les 3 composantes du couple sous forme d'expressions analytiques.

L'ensemble de ces résultats analytiques 3D permet de calculer de très nombreux systèmes, soit par calcul direct entre blocs aimantés, soit le système peut être décomposé en une série de blocs en interaction :

  • tous les systèmes qui fonctionnent par interaction entre des aimants permanents comme les accouplements magnétiques ou les paliers magnétiques,
  • le calcul analytique est possible dans un certain nombre de systèmes utilisant des pièces ferromagnétiques ou des bobinages,
  • de façon plus générale, les expressions analytiques peuvent être intégrées dans des logiciels d'optimisation, ces expressions fournissant les interactions sur chaque élément,
  • ces expressions permettent aussi de résoudre certains problèmes de singularités dans les méthodes de calcul numérique.

Application : Calcul analytique du couple entre deux aimants à aimantations parallèles


MADEA : Interaction aimants permanents
Le couple est proportionnel au produit des 2 polarisations des aimants J et J' (en Tesla), et d'une fonction des dimensions des aimants, plus exactement de la position respective des coins des aimants.
MADEA : J.P. Yonnet Aimants Equa 1

Pour la composante Tx, cette fonction est donnée par :

MADEA : J.P. Yonnet Aimants Equa 2

Pour la composante Ty :

MADEA : J.P. Yonnet Aimants Equa 3

Pour la composante Tz :

MADEA : J.P. Yonnet Aimants Equa 4

Bibliographie

G. Akoun, J-P. Yonnet, 3D analytical calculation of the forces exerted between two cuboïdal magnets, IEEE Trans. Magnetics, MAG 20, n° 5, p. 1962-1964, Sept. 1984.
H. Allag and J-P. Yonnet, 3D Analytical Calculation of the Torque and Force exerted between Two Cuboïdal Magnets, IEEE Trans on Magnetics, Vol 45, n°10, Octobre 2009, p. 3969 - 3972.
J-P Yonnet, H. Allag and M.E.H. Latreche, 3D Analytical Calculation of Magnet Interactions, JOAM-S (Journal of Opto electronics and Advanced Materials), Vol. 1, n°5, Nov. 2009, p. 798-804
H. Allag, J.-P. Yonnet and M. E. H. Latreche, Analytical calculation of the torque exerted between two perpendicularly magnetized magnets, Journal of Applied Physics, à paraître.
J.-P. Yonnet and  H. Allag, Three-Dimensional Analytical Calculation of Permanent Magnet Interactions by Magnetic Node Representation, IEEE Transactions on Magnetics, à paraître.
Responsable
 
Jean-Paul YONNET
 
 
G2ELAB
Laboratoire de Génie Electrique de Grenoble
Bâtiment GreEn-ER, 21 avenue des martyrs, CS 90624, 38031 Grenoble CEDEX 1, FRANCE

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